Правило решения определителя 2 го порядка. Определители и их свойства

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

1. коэффициенты в формулах постоянные,
2. неизвестные входят в формулы только в первой степени,
3. отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то тогда такие зависимости называют линейными.

Пример . В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

Решение . Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.

Пример . В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

Решение . Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,

10x+10y=280; 5x+2y=128,

решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г .

В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением , а во втором – с линейной системой уравнений .

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:

Определение 1 . Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a ij

Определение 2 . Элементы a ij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

Определение 3 . Определителем второго порядка или детерминантом , соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что

(1.3)

Определитель обозначается буквами D или и записывается

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа ( по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить " определитель , соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель . Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение , во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель , соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Пример . Дана система уравнений

Составить матрицу системы и вычислить определитель .

Решение . Из коэффициентов системы составим матрицу: и соответствующий ей детерминант

Выполним вычисления по формуле (2), получим

Определение 4 . Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

В примере был вычислен определитель второго порядка.

Определители обладают следующими свойствами.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

Сравнивая D с D * можно убедиться, что D = D * .

Определение 5 . Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2 . При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель .

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель , действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

Чтобы найти определитель матрицы нужно воспользоваться формулами, которые действительны для определителей 2 и 3 порядка.

Формула

Пусть задана матрица второго порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} $. Тогда её определитель вычисляется по формуле:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21} $$

Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}\cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}\cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.

Если дана матрица третьего порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = $$

$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$

Примеры решений

Пример 1

Пусть задана матрица $ A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $ Вычислить её определитель.

Решение

Как найти определитель матрицы? Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \Delta = -2 $$

Пример 2

Дана матрица $ A = \begin{pmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{pmatrix} $. Требуется вычислить определитель.

Решение

Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{vmatrix} = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус.

Ответ

$$ \Delta = 31 $$

Определение 6 . Определителем третьего порядка, соответствующим матрице системы (1.4), назовем число D , равное

Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как " правило треугольника " (или "правило звездочки") и " правило Саррюса ".

По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями

т.е. получаем сумму произведений: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32 .

Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.

Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме

т.е. получаем другую сумму произведений a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32 . И, наконец, чтобы вычислить определитель , из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:

D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).

По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (см. схему):

Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.

Пример . Вычислить определитель

Решение . Вычислим определитель по правилу звездочки

И по правилу Саррюса

Т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.

Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей третьего порядка, в чем можно убедиться самостоятельно. На основании этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.

Тема 1. Матрицы и системы

Понятие матрицы

Определение 1. Матрицей

.

Здесь, a i j (i =1,2,...,m ; j =1,2,...n ) - элементы матрицы, i - номер строки, j m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n.

i¹j равны нулю, называется диагональной :

единичной

нулевой и обозначается θ.

- матрица строка ; - матрица столбец .

определитель (или детерминант ).

Определители 2-го порядка

Определение 2 . Определителем второго порядка матрицы , то есть

. (3)

Другие обозначения: , .

Таким образом, понятие определителя предполагает одновременно и способ его вычисления. Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами , называется главной, а элементами - побочной.

Пример 1. Определитель матрицы равен

.

Определители 3-го порядка

Определение 2 . Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

,

и определяемое равенством

Числа - элементы определителя. Элементы образуют главную диагональ, элементы - побочную .

При вычислении определителя чтобы запомнить, какие слагаемые в правой части равенства (4) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», пользуются символическим правилом треугольников (правилом Саррюса):

Со знаком «+» берутся произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; сл знаком «-» – произведения элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Вычисление определителя по правилу приписывания столбцов.

1. Приписываем справа от определителя последовательно первый и второй столбцы.

2. Вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, сверху - вниз от а 11 до а 13 и берем их со знаком «+». Затем вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, снизу вверх от а 31 до а 13 и берем их со знаком «-».

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Пример 2 . Вычислить определитель по правилу приписывания столбцов.

3. Определители n -ого порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).

Рассмотрим понятие определителя n- ного порядка. Определителем n- ного порядка называется число, сопоставляемое матрице n- ного порядка и вычисляемое по определенному закону.

,

здесь - элементы определителя. Чтобы показать правило, по которому раскрывается определитель n -ного порядка, рассмотрим некоторые понятия.

Определение 4. Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n - 1) порядка, полученный вычеркиванием строки и столбца определителя, на пересечении которых расположен этот элемент.

Определение 5. Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя n -го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , то есть .

В определителе третьего порядка можно рассмотреть, например,

, .

, .

Определение 6.Определителем n- ного порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки определителя, умноженных на их алгебраические дополнения.

Это правило вычисления определителя называется разложением по первой строке .

Теорема (о разложении определителя). Определитель можно вычислить разложением по любой строке или столбцу.

– сумма произведений элементов 1-го столбца на алгебраические дополнения 2-го столбца.

Пример 3 . Вычислить определитель четвертого порядка .

Решение. Умножаем третью строку на (-1) и прибавляем ее к четвертой, затем раскладываем определитель по четвертой строке:

Определитель третьего порядка разложили по первой строке.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестный преобразуют к ступенчатому виду. При этом преобразования выполняются над строками в расширенной матрице, так как преобразования, исключающие неизвестные эквивалентны элементарным преобразованиям строк матрицы.

Метод Гаусса состоит из прямого хода и обратного хода. Прямым ходом метода Гаусса является приведение расширенной матрицы системы (1) к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками. После чего происходит исследование системы на совместность и определенность. Затем по ступенчатой матрице восстанавливается система уравнений. Решение этой ступенчатой системы уравнений является обратным ходом метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравнения, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым номером, и их значения подставляются в предыдущее уравнение системы.

Исследование системы в конце прямого хода происходим по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А и расширенной матрицы А´. При этом возможны следующие случаи.

1) Если , то система несовместна (по теореме Кронекера-Капелли).

2) Если , то система (1) является определенной, и наоборот (без доказательства).

3) Если , то система (1) является неопределенной, и наоборот (без доказательства).

Неравенство не имеет места, так как матрица А является частью матрицы А´, неравенство не имеет места, так как число столбцов матрицы А равно п . Кроме того, для системы с квадратной матрицей, то есть если п = т , равенства равносильны тому, что .

Если система является неопределенной, то есть выполняется , то некоторые ее неизвестные объявляются свободными, а остальные через них выражаются. Количество свободных неизвестных равно . При выполнении обратного хода метода Гаусса, если в очередном уравнении после подстановки найденных ранее переменных, неизвестных осталось более одного, то свободными неизвестными объявляются любые неизвестные, кроме одного.

Рассмотрим реализацию метода Гаусса на примерах.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход).

~ ~ ~

~ ~ .

Поэтому система совместна и имеет единственное решение, т.е. является определенной.

Составим систему ступенчатого вида и решим ее (обратный ход).

Проверку легко сделать подстановкой.

Ответ : .

Тема 2. Векторная алгебра.

Проекция вектора на ось.

Определение 2. Проекцией вектора на ось l называется число равное длине отрезка АВ этой оси, заключенного между проекциями начала и конца вектора , взятое со знаком «+», если отрезок АВ ориентирован (считая от А к В ) в положительную сторону оси l и знаком «-» – в противном случае (см. рис.2).

Обозначение: .

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и положительным направлением оси (рис. 3):

. (1)

Рис.3. Рис.4.

Доказательство . Из (рис. 3) получаем . Направление отрезка совпадает с положительным направлением оси , поэтому справедливо равенство . В случае противоположной ориентации (рис.4) имеем . Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций.

Свойство 1. Проекция суммы двух векторов и на ось равна сумме их проекций на ту же ось, то есть .

Рис.5.

Доказательство в случае одного из возможных расположений векторов следует из рисунка 5. Действительно, по определению 2

Свойство 1 справедливо для любого конечного числа слагаемых векторов.

Свойство 2. При умножении вектора на число l его проекция умножается на это число

. (2)

Докажем равенство (2). При векторы и образуют с осью один и тот же угол. По теореме 1

При векторы и образуют с осью соответственно углы и . Потеореме 1

При , получаем очевидное равенство

Следствие из свойств 1 и 2. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Тема 1. Матрицы и системы

Понятие матрицы

Определение 1. Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений , записанных в виде

.

Здесь, a i j (i =1,2,...,m ; j =1,2,...n ) - элементы матрицы, i - номер строки, j - номер столбца. Матрицы обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, Cи т.д., а также или . При m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Квадратная матрица, у которой все элементы с неравными индексами i¹j равны нулю, называется диагональной :

Если все отличные от нуля элементы диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной . Единичную матрицу принято обозначать буквой E.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается θ.

Существуют также матрицы, состоящие из одной строки или из одного столбца.

- матрица строка ; - матрица столбец .

Числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (или детерминант ).

Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства.

Определители 2-го порядка

Определение 2 . Определителем второго порядка матрицы (или просто определителем второго порядка) называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством , то есть

. (3)

Другие обозначения: , .

Практическое занятие

Тема: Вычисление определителей.

Цели: закрепить понятия определителей и их свойств, сформировать и закрепить умения и навыки вычислять определители 2-го и 3-го порядков; развивать умения обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, способствовать развитию логического мышления; воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

I. Общие теоретические положения

Определителем второго порядка называют число

Определителем третьего порядка называют число

Свойства определителей

Свойство 1.
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.

Свойство 2.
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.

Свойство 3.
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).

Свойство 4.
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.

Свойство 5.
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.

Следствие из свойств 4 и 5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Контрольные вопросы:

1.Дать определение матрицы.
2. Что означает символ ?
3. Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А?
4. Какую матрицу называют квадратной порядка n?
5. Дать определение определителя 2-го порядка.

6. Дать определение определителя 3-го порядка.

7. Чему равен определитель транспонированной матрицы?

8. Как изменится величина определителя, если в матрице поменять местами 2 строки (столбца)?

9. Можно ли вынести за знак определителя общий множитель строки или столбца?

10.Чему равен определитель, если все элементы некоторой строки (столбца) равны 0?

11.Чему равен определитель, если он имеет две одинаковых строки (столбца)?

12. Сформулируйте правило вычисления определителя 2-го порядка.

13. Сформулируйте правило вычисления определителя 3-го порядка.

II . Формирование умений и навыков.

Пример 1. Вы числить определитель: а) по правилу треугольника б) по правилу Саррюса;

в) методом разложения по элементам первой строки

Решение:

б) припишем два первых столбца и вычислим произведения из трех элементов по главной диагонали и параллельно к ней со знаком (+), а затем по побочной диагонали и параллельно к ней со знаком (-):

получаем:

Пример 2. Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника.

Решение:

Пример 3 . Вычислить определитель, используя свойства:

III .Закрепление изученного материала.

№1. Вычислить определители:

№ 2. Решить уравнения:

№ 4. Вычислить определители, используя свойства:

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

2. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).