Критерий Дарбина-Уотсона . Это наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка. Статистика DW Дарбина-Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии определяются значения отклонений . Рассчитывается статистика

- положительная автокорреляция;

- зона неопределенности;

- автокорреляция отсутствует;

Зона неопределенности;

- отрицательная автокорреляция.

Можно показать, что статистика DW тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой:

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения r изменяются от –1 до +1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. DW =0 соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (r =1). При отрицательной автокорреляции (r =-1) DW =4, и выражение в скобках равна двум.

Ограничения критерия Дарбина – Уотсона:

1. Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

(1)

3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).

4. Критерий Дарбина – Уотсона не применим к авторегрессионным моделям вида:

,

где - оценка коэффициента автокорреляции первого порядка (66), D(c) – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной y t -1 , n – число наблюдений.

При большом n и справедливости нуль – гипотезы H 0: ρ=0 h~N(0,1) . Поэтому при заданном уровне значимости определяется критическая точка из условия

,

и h- статистика сравнивается с u α /2 . Если |h |>u α /2 , то нуль – гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Обычно значение рассчитывается по формуле , а D(c) равна квадрату стандартной ошибки m c оценки коэффициента с . Cледует отметить, что вычисление h – статистики невозможно при nD(c)> 1.

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель, в частности, ввести какой – нибудь неучтенный фактор или изменить форму модели (например, с линейной на полулогарифмическую или гиперболическую). Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими – то внутренними свойствами ряда {e t }, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR(1 ).

Рассмотрим AR(1) на примере парной регрессии.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

• 1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
• 2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

• 1) построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
• 2) использование критерия Дарбина -- Уотсона и расчет величины:

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина -- Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -- Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости б . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

есть положительная автокорреляция. Принимается гипотеза H1 с вероятностью (1- б ).

зона неопределенности.

автокорреляция остатков нет.

зона неопределенности.

есть отрицательная автокорреляция. Принимается гипотеза H1* с вероятностью (1-б).

Если фактическое значение критерия Дарбина -- Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина -- Уотсона:

• 1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т.е. к моделям авторегрессии.
• 2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.
• 3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Введение

1. Суть и причины автокорреляции

2. Обнаружение автокорреляции

3. Последствия автокорреляции

4. Методы устранения

4.1 Определение

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E). Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков

1.Суть и причины автокорреляции

Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Автокорреляция остатков чаще всего наблюдается тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

2.Обнаружение автокорреляции

В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений

2.1.Графический метод

Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, указывающий отклонения

Естественно предположить, что на рис 2.1. а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 2.1.б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости.

2.2. Метод рядов

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.

2.3 Критерий Дарбина-Уотсона

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины

Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F- критериев.

Автокорреляция остатков может возникать по нескольким причинам:

Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и наличием ошибок измерения в значениях Y.

Во-вторых, иногда причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние у которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Зачастую этим фактором является фактор времени t.

Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных , включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.

Автокорреляция бывает явной и неявной.

Явная наблюдается в случае, когда известна точная зависимость между уровнями шоковой переменной, полученными в различные моменты времени.

Неявная – когда такая зависимость является стохастической:

Зависимость такого вида достаточно часто встречается при анализе временных рядов и носит название модели авторегрессии первого порядка AP (1).

К последствиям наличия в модели автокорреляции относятся:

а) увеличение дисперсий оценок параметров модели;

б) смещение оценок, полученных по МНК;

в) снижение значимости оценок параметров.

Если ρ >0, то автокорреляция будет положительной, а если ρ < 0 – отрицательной.

Наиболее популярным критерием диагностики эконометрической модели на наличие автокорреляции является тест Дарбина-Уотсона.

Кроме точечной проверки наличия автокорреляции шоковой переменной на практике проверяют статистические гипотезы следующих видов:

Критерии проверки гипотез 1) и 2) основаны на специальных таблицах Дарбина-Уотсона, в которых по уровню надежности содержаться доверительные границы статистики .

Однако, существуют особые ограничения при использовании теста Дарбина-Уотсона.

1) Модель должна содержать свободный член ;

2) Модель не должна содержать лаговых переменных.

В других учебниках существует деление автокорреляции на чистую и ложную .

Чистая вызывается зависимостью случайного члена от прошлых значений. Она, в свою очередь, делится на автокорреляцию первого порядка, второго порядка и высших порядков.

Ложная автокорреляция вызывается неправильной спецификацией модели.

Причинами чистой автокорреляции могут быть:

1. Инерция. Трансформация и изменение многих экономических показателей обладает инерционностью.

2. Эффект паутины. Многие экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с временным лагом (запаздыванием).

3. Сглаживание данных. Усреднение данных по некоторому продолжительному интервалу времени.

Последствия автокорреляции:

1. Истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок регрессии, но оценки перестают быть эффективными.

2. Автокорреляция (особенно положительная) часто приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов, что влечет за собой увеличение t -статистик.

3. Оценка дисперсии остатков S e 2 является смещенной оценкой истинного значения σ e 2 , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по оценке качества коэффициентов и модели в целом, возможно, будут неверными. Это приводит к ухудшению прогнозных качеств модели.